対数微分法を使った微分

\( y=f(x)^{g(x)} \)などの形をとる関数の微分を行う場合対数微分法を使うと簡単になることがある。

この形の対数微分を考える。両辺の対数をとり

\begin{align}
\log{y(x)}&=g(x)\log{f(x)}
\end{align}

両辺を微分して

\begin{align}
\left \{ \log{y(x)} \right \} ’ &=\left \{ g(x) \log{ f(x) }\right \}’
\end{align}

これより

\begin{align}
y'(x)&=y(x) \left \{ g'(x)\log{f(x)}+g(x) \frac{f'(x)}{f(x)} \right \}
\end{align}