ボード線図作図のためのゲイン線図と位相線図

二次遅れ系の伝達関数\(G(s)\)

\begin{align}
G(s)=\dfrac{K}{Ts+1}
\end{align}

を例に、ゲイン線図と位相線図からなるボード線図を作図する。はじめに\(s=j \omega\)としてフーリエ変換すると

\begin{align}
G(j \omega)&=\dfrac{K}{1 + j \omega T }
\end{align}

また、このシステムのゲイン\(|G(j \omega)|\)は

\begin{align}
\left | G(j\omega) \right |=\sqrt{\Re G( j\omega ) ^{2}+\Im G( j\omega ) ^{2}}
\end{align}

これらより、ゲインは

\begin{align}
\left | G(j\omega) \right | = \dfrac{K\sqrt{1+T^{2}\omega^{2}}}{1+T^{2}\omega^{2}}
\end{align}

最後に、ゲイン線図は対数グラフで表現するので

\begin{align}
20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10} \left (\dfrac{K\sqrt{1+T^{2}\omega^{2}}}{1+T^{2}\omega^{2}} \right )
\end{align}

となる。位相線図も同様にフーリエ変換し

\begin{align}
G(j \omega)&=\dfrac{K}{1 + j \omega T }
\end{align}

について、その角度

\begin{align}
\angle G (j \omega) =\tan^{-1} \dfrac{\Im G(j \omega) }{\Re G(j \omega) }
\end{align}

を求めればよい。