状態方程式から伝達関数への変換例

線形時不変な状態方程式と伝達関数との変換を考える。

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}

の各変数を

\begin{align}
A=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 3
\end{bmatrix} \hspace{5mm}
B=\begin{bmatrix}
0 \\
5
\end{bmatrix} \hspace{5mm}
C=\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align}

これより

\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1} \\
\dot{x}_{2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 \\ 5
\end{bmatrix} u(t) \hspace{5mm}
y=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}

状態方程式と伝達関数との関係は

\begin{align}
G(s)&=C(sI-A)^{-1} B+D
\end{align}

より
\begin{align}
G(s)&=
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix} \left ( s I –
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 3
\end{bmatrix}
\right )^{-1}
\begin{bmatrix}
0 \\ 5
\end{bmatrix} \\
&=\frac{5}{s^2-3s+4}
\end{align}

となる。