三角不等式の証明

任意の実数\(a,b\)について

\begin{align}
|a+b| \leq |a| + |b|
\end{align}

の三角不等式が成り立つ。

証明

両辺ともに正であるので、二乗の差を考えて

\begin{align}
(|a| + |b|)^2 – (|a+b|)^2 &=|a|^2+2|a||b| + |b|^2 – (a+b)^2 \\
&=a^2+2|a||b| + b^2 – (a^2+2ab+b^2) \\
&=2|a||b| – 2ab
&=2(|a||b| – ab)
\end{align}

ここで\(|a||b| – ab\)は明らかに正。よって不等式を満たす。