PID制御器を後退差分で離散化する

PID制御器を後退差分で離散化する。後退差分は

\begin{align}
s=\frac{1-z^{-1}}{T}
\end{align}

で表されるのでPID制御器に適応すると操作量は

\begin{align}
C=K_P+K_I \frac{T}{1-z^{-1}} + K_D \frac{1-z^{-1}}{T}
\end{align}

となる。\(\Delta=1-z^{-1}\)とすると

\begin{align}
u(t) &=K_P e(t) +K_I \frac{T}{\Delta} e(t) + K_D \frac{\Delta}{T} e(t) \\
\Delta u(t) &= K_P \Delta e(t) +K_I T e(t) + K_D \frac{\Delta^2}{T} e(t) \\
\end{align}

ここで\(T=1\)であれば

\begin{align}
u(t) &=u(t-1) + K_P \Delta e(t) +K_I e(t) + K_D \Delta^2 e(t) \\
\end{align}

を得る。