双一次変換を使って一次遅れ系の伝達関数を離散化する

一次遅れ系の伝達関数

\begin{align}
G(s)=\frac{K}{Ts+1}
\end{align}

を双一次変換で離散化する。\(s\)に

\begin{align}
s=\frac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }
\end{align}

を代入すれば

\begin{align}
H(z^{-1})=\displaystyle \frac{K\left ( \frac{T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} + \frac{T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} z^{-1} \right ) }{1 – \frac{2 T – T _ {s}}{2 T + T _ {s}} z^{-1}}
\end{align}

これより

\begin{align}
y[t]= \frac{K T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} u[t] + \frac{K T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} u[t-1] + \frac{2 T – T _ {s}}{2 T + T _ {s}} y[t-1]
\end{align}