オイラーの定数の表示について

オイラーの定数とは

\begin{align}
\gamma=\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \log n)
\end{align}

の極限値のことである。これは対数の性質を使えば

\begin{align}
\gamma=\sum_{n =1}^{\infty} \left \{ \frac{1}{n} – \log \left ( 1+\frac{1}{n} \right ) \right \}
\end{align}

さらに\(\log(1+x)\)のテイラー展開を考えれば

\begin{align}
\gamma=\sum_{n =1}^\infty \left [ \sum_{k = 1}^\infty \left \{ \frac{1}{(n+1)^k} + \frac{(-1)^k}{kn^k} \right \} \right ]
\end{align}

を得る。