浮体に働く復元力

浮体に働く浮力ベクトルとその大きさは

\begin{align}
B = mg \hspace{5mm} W = – \rho g V
\end{align}

で表すことができる。浮体座標系から見れば

\begin{align}
\boldsymbol{f}_{g}^{n} = {}^{t}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & B
\end{pmatrix} \hspace{5mm} \boldsymbol{f}_{b}^{n} = – {}^{t}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & W
\end{pmatrix}
\end{align}

重心と浮心の座標を

\begin{align}
\boldsymbol{r}_{g}= {}^{t}
\begin{pmatrix}
x_{g} & y_{g} & z_{g}
\end{pmatrix}
\hspace{5mm} \boldsymbol{r}_{b} = {}^{t}
\begin{pmatrix}
x_{b} & y_{b} & z_{b}
\end{pmatrix}
\end{align}

とすれば、グローバル座標系への変換は回転行列を用いれば次のようになる。

\begin{align}
\boldsymbol{f}_{g}^{b} = \boldsymbol{R}_{b}^{n} (\boldsymbol{\eta})^{-1} \boldsymbol{f}_{g}^{n} \\
\boldsymbol{f}_{b}^{b} = \boldsymbol{R}_{b}^{n} (\boldsymbol{\eta})^{-1} \boldsymbol{f}_{g}^{n}
\end{align}

これより、浮体に働く復元力ベクトルを\(\boldsymbol{g} (\boldsymbol{\eta})\)は

\begin{align}
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta}) &= –
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{f}_{g}^{b} + \boldsymbol{f}_{b}^{b} \\
\boldsymbol{r}_{g}^{b} \boldsymbol{S} (\boldsymbol{f}_{g}^{b}) + \boldsymbol{r}_{g}^{b} \boldsymbol{S} (\boldsymbol{f}_{g}^{b})
\end{pmatrix} \\
&= –
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{R}_{b}^{n} (\boldsymbol{\eta})^{-1} \left ( \boldsymbol{f}_{g}^{b} + \boldsymbol{f}_{b}^{b} \right ) \\
\boldsymbol{r}_{g}^{b} \boldsymbol{S} \left( \boldsymbol{R}_{b}^{n} (\boldsymbol{\eta})^{-1} \boldsymbol{f}_{n}^{b} \right ) + \boldsymbol{r}_{b}^{b} \boldsymbol{S} \left( \boldsymbol{R}_{b}^{n} (\boldsymbol{\eta})^{-1} \boldsymbol{f}_{n}^{b} \right )
\end{pmatrix}
\end{align}

したがって次を得る。

\begin{align}
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta}) =
\begin{pmatrix}
(m-\rho V) g \ \sin{\theta} \\
-(m-\rho V) g\ \sin{\phi} \cos{\theta} \\
-(m-\rho V) g\ \cos{\phi} \cos{\theta} \\
-(my_{g}-\rho V y_{b} ) g \ \cos{\phi} \cos{\theta} + (mz_{g}-\rho V z_{b} ) g \ \sin{\phi} \cos{\theta} \\
(mz_{g}-\rho V z_{b} ) g \ \sin{\theta} + (mx_{g}-\rho V x_{b} ) g \ \cos \phi \cos{\theta} \\
-(mx_{g}-\rho V x_{b} ) g \ \sin{\phi} \cos{\theta} – (my_{g}-\rho V y_{b} ) g \ \sin{\theta}
\end{pmatrix}
\end{align}

ここで、浮体の浮力が中性浮力であれば\(W=B\)が成り立つので

\begin{align}
\begin{split}
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta}) =
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
-(y_{g} – y_{b} ) mg \ \cos{\phi} \cos{\theta} + (z_{g} – z_{b} ) mg \ \sin{\phi} \cos{\theta} \\
(z_{g} – z_{b} ) mg\ \sin{\theta} + (x_{g} – x_{b} ) mg\ \cos \phi \cos{\theta} \\
-(x_{g} – x_{b} ) mg\ \sin{\phi} \cos{\theta} – (y_{g} – y_{b} ) mg\ \sin{\theta}
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{align}