二次遅れ系の極の導出

二次遅れ系

\begin{align}
P(s)=\frac{\omega_{n}^2 }{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s + \omega_{n}^2}
\end{align}

の極を導出する。分子に\(s\)が含まれていないので次の代数方程式

\begin{align}
s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s + \omega_{n}^2=0
\end{align}

を解けば

\begin{align}
s= – \omega _{n} \zeta \pm \omega _{n} \sqrt{\zeta^{2} – 1}
\end{align}

を得る。あとは\(\zeta\)の範囲で場合分けすればいい。