線形時不変システムの可制御性の必要条件

次のような線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}

で表されるシステムの可制御性について考える。このシステムの解は

\begin{align}
x(t) =e^{At} x_0 + \int_{t_{0}}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau) d\tau
\end{align}

で与えられる。計算しやすいように整理すると

\begin{align}
e^{-At} x(t) -x_0 = \int_{t_{0}}^{t} e^{-A \tau} Bu(\tau) d\tau
\end{align}

ケイリーハミルトン定理を用いれば状態遷移行列が

\begin{align}
e^{-A \tau}=q_0(\tau) I + q_1(\tau) A + \cdots + q_{n-1} (\tau) A^{n-1}
\end{align}

となるので

\begin{align}
e^{-At} x(t) -x_0 &=\int_{t_{0}}^{t} \left (q_0(\tau) I + q_1(\tau) A + \cdots + q_{n-1} (\tau) A^{n-1} \right ) Bu(\tau) d\tau \\[1.5ex]
&=
\begin{bmatrix}
B & AB & \cdots & A^{n-1}B
\end{bmatrix}
\int_{t_{0}}^{t}
\begin{bmatrix}
q_0(\tau) \\ q_1(\tau) \\ \vdots \\ q_{n-1}(\tau)
\end{bmatrix}
u(\tau) d\tau
\end{align}

これから初期状態\(x_0\)、時刻\(t\)、状態\(x(t)\)で\(u\)が存在するには

\begin{align}
M_c=
\begin{bmatrix}
B & AB & \cdots & A^{n-1}B
\end{bmatrix}
\end{align}

がフルランクでなければならない。可制御行列\(M_c\)がフルランクであるとき、システムは可制御である。