指数関数のラプラス変換

指数関数のときのラプラス変換を考える。ラプラス変換する関数を$e^{\alpha t}$とすると

$$\begin{align} F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\ &=\int_0^\infty e^{(\alpha – s)t } dt\\ &=\left [\frac{e^{(\alpha – s)t}}{\alpha – s} \right ]_0^\infty \\ &=\frac{1}{s – \alpha} \end{align}$$

を得る。