指数関数のラプラス変換

指数関数のときのラプラス変換を考える。ラプラス変換する関数を\(e^{\alpha t}\)とすると

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\
&=\int_0^\infty e^{(\alpha – s)t } dt\\
&=\left [\frac{e^{(\alpha – s)t}}{\alpha – s} \right ]_0^\infty \\
&=\frac{1}{s – \alpha}
\end{align}

を得る。