状態方程式と伝達関数の相互変換

線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}

と伝達関数との関係について考える。状態方程式をラプラス変換すれば

\begin{align}
sX(s) &= AX(s)+BU(s) \\
Y(s)&=CX(s)+DU(s)
\end{align}

これより

\begin{align}
Y(s)=C(sI(s)-A)^{-1} BU(s)+DU(s)
\end{align}

伝達関数の定義

\begin{align}
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}
\end{align}

より

\begin{align}
G(s)=\frac{C(sI(s)-A)^{-1} BU(s)+DU(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1} B+D
\end{align}

となる。