システムの線形性

一般に数学における線形性とは

\begin{align}
f(x+y)&=f(x)+f(y)\\
f(kx)&=kf(x)
\end{align}

で定義される。制御工学においては静的システムについては同様に定義することができ

\begin{align}
f(u_1+u_2)&=f(u_1)+f(u_2)\\
f(ku)&=kf(u)
\end{align}

となる。動的システムに適応できないのは動的システムが入出力に加え状態を引数に持つからである。

いま、入力\(u\)と初期状態\(x_0\)を用いて動的システムの出力\(y=f(u,x_0 ) \)を考える。この時このシステムが線形であるとは

\begin{align}
f(0,k_1 x_{01}+k_2 x_{02})&=k_1 f(0,x_{01})+k_2 f(0,x_{02})\\
f(k_1 u_{1}+k_2 u_{2},0)&=k_1 f(u_{1},0)+k_2 f(u_2,0)\\
f(u,x_0 )&=f(u,0 )+f(0,x_0)
\end{align}

をすべて満たすことである。