オイラーの公式から加法定理を導出する

オイラーの公式

\begin{align}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\end{align}

から加法定理を計算することができる。いま\(\theta_1,\theta_2\)の合成を考えれば

\begin{align}
e^{i (\theta_{1} + \theta_{2})} &=e^{i \theta_{1}} e^{i \theta_{2}} \\
&=(\cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1} )(\cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} )\\
&=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} +i \cos \theta_{1} \sin \theta_{2} + i \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} – \sin \theta_{1} \sin \theta_{2}
\end{align}

これより

\begin{align}
\sin (\theta_{1}+\theta_{2})&= \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} +\cos \theta_{1} \sin \theta_{2}\\
\cos (\theta_{1}+\theta_{2})&=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} – \sin \theta_{1} \sin \theta_{2}
\end{align}

を得る。