正実性と強正実性

任意の伝達関数$G(s)$

$$\begin{align} G(s)=\dfrac{K_{p} (s -\sigma_{1})(s – \sigma_{2}) \cdots (s – \sigma_{m})} {(s – \lambda_{1})(s – \lambda_{2}) \cdots (s – \lambda_{m})} \end{align}$$

について、実部と虚部を$M,N$とすると

$$\begin{align} G(s)=M+jN \end{align}$$

となる。このとき$\Re s \geq 0$で

$$\begin{align} \Re G(s) \geq 0 \end{align}$$

となれば伝達関数は正実(positive real, PR)でであるという。
例えば

$$\begin{align} G(s)=\dfrac{1}{s+1} \end{align}$$
は$s=\sigma+j \omega$とすれば
$$\begin{align} G(s)=\dfrac{1+\sigma}　{(1+\sigma)^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}} – \dfrac{\omega} {(1+\sigma)^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}} \end{align}$$
よりSRである。

また、ある整数$\varepsilon$が存在して$G(s-\varepsilon)$がSRであるならば強正実(strictly positive real, SPR)という。
SPRかどうかについて調べる方法は上記のSRを調べる方法と同様にすればいい。