畳み込み積分のラプラス変換

畳み込み積分のラプラス変換は次のようになる。

\begin{align}
\mathcal{L}[f(t)*g(t)]&=\int_0^{\infty}e^{-st}\int_0^tf(u)g(t-u)dudt \\
&=\int_0^{\infty}f(u)\int_u^{\infty}g(t-u)e^{-st}dtdu \\
&=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}f(u)g(v)e^{-s(u+v)}dvdu \\
&=\int_0^{\infty}f(u)e^{-su}du\int_0^{\infty}g(v)e^{-sv}dv \\
&=F(s)G(s)
\end{align}