原子の軌道半径を求める

原子が原子核の周りを回っていて、その起動が円であるとする。このときクーロン力と遠心力が釣り合っているならば次式が成り立つ。

\begin{align}
\frac{mv^2}{r}=\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon r^2}
\end{align}

ここで\(m,q,v,r,\varepsilon\)はそれぞれ原子の質量、電荷の絶対値、速度、軌道半径、誘電率である。

つぎに原子の角運動量\(mvr\)の\(2 \pi\)倍がプランク定数\(\hbar\)の整数倍に等しいので

\begin{align}
2 \pi mvr = n \hbar
\end{align}

これより\(v\)を消去すれば

\begin{align}
r=n^2 \frac{\hbar^2 \varepsilon}{\pi m q^2}
\end{align}

を得る。