遅延演算子の使い方

z変換を使うと遅延演算子が登場する。遅延演算子をzとすると次の関係が成り立つ。

\begin{align}
y(t+1)&=y(t)z \\
y(t-1)&=y(t)z^{-1}
\end{align}

遅延演算子はそれ単体では機能せず、時系列データを過去または未来にずらす働きがある。

また、

\begin{align}
\Delta u(t) =1 – u(t-1)
\end{align}

であるとき遅延演算子を用いて

\begin{align}
\Delta u(t) =u(t) – u(t-1)
\end{align}

であるとすると

\begin{align}
\Delta u(t) &=u(t) – u(t-1)\\
&=(1-z^{-1})u(t)
\end{align}

より

\begin{align}
u(t) &=\frac{1}{1-z^{-1}} \Delta u(t)
\end{align}

となる。このように遅延演算子は通常の変数と同じように扱うことができる。