ベクトルオペレータを使った３相交流回路の電流表現を考える。いま、各層を流れる電流\(\dot{I}_{a}, \dot{I}_{b}, \dot{I}_{c}\)と零相電流\(\dot{I}_{c}\)、正相電流\(\dot{I}_{a}\)、逆相電流 \(\dot{I}_{b}\)がベクトルオペレータにより次の関係にある。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\dot{I}_{a} \\ \dot{I}_{b} \\ \dot{I}_{c}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a^2 & a \\
1 & a & a^2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{I}_{0} \\ \dot{I}_{1} \\ \dot{I}_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで式中のベクトルオペレータを含む行列
\begin{align}M=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a^2 & a \\
1 & a & a^2 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
について掃き出し法により逆行列を求めると
\begin{align}M^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{a^2 + a}{a^2 + a – 2} & \dfrac{-1}{a^2 + a – 2}& \dfrac{-1}{a^2 + a – 2}\\
\dfrac{-1}{a^2 + a – 2}& \dfrac{a + 1}{a^3 + a^2 – 2a} & \dfrac{-1}{a^3 + a^2 – 2a}\\
\dfrac{-1}{a^2 + a – 2}& \dfrac{-1}{a^3 + a^2 – 2a}& \dfrac{a + 1}{a^3 + a^2 – 2a}
\end{pmatrix}\\[1.5ex]
&=\dfrac{1}{a^2 + a – 2}
\begin{pmatrix}
a^2 + a & -1 & -1\\
-1 & \dfrac{a+1}{a} & -\dfrac{1}{a}\\
-1 & -\dfrac{1}{a} & \dfrac{a+1}{a}
\end{pmatrix}
\end{align}
ここでベクトルオペレータの関係式\(a^2+a+1=0\)より
\begin{align}
M^{-1} &=\dfrac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & a & a^2\\
1 & a^2 & a
\end{pmatrix}
\end{align}
を得る。
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