MATLABで回転行列を定義してオイラー角が複数あることを調べる

回転行列

\begin{align}
\boldsymbol{R}_{x}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \phi & – \sin \phi \\
0 & \sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\end{align}

\begin{align}
\textbf{R}_{y}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0\\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{align}

\begin{align}
\textbf{R}_{z}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
\cos \psi & -\sin \psi & 0 \\
\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}

を定義してオイラー角が複数あることを調べる。MATLABで次のような関数を実装し、

function [Rx,Ry,Rz] = symRot(eta2)
phi=eta2(1);
theta=eta2(2);
psi=eta2(3);


Rx=[...
    1   0           0;...
    0   cos(phi)    -sin(phi);...
    0   sin(phi)    cos(phi);...
];
Ry=[...
    cos(theta)  0          sin(theta);...
    0           1          0;...
    -sin(theta) 0          cos(theta);...
];

Rz=[...
    cos(psi)   -sin(psi)   0;...
    sin(psi)   cos(psi)    0;...
    0          0           1;...
];

end

シンボリック演算の機能を利用して

syms phi theta psi

[Rx,Ry,Rz]=symRot([phi theta psi])

とすると各回転行列が得られる。

例えばオイラー角の一つ

\begin{align}
\boldsymbol{R}_I^B (\boldsymbol{η}) =\boldsymbol{R}_z (\boldsymbol{η}) \boldsymbol{R}_y (\boldsymbol{η}) \boldsymbol{R}_x(\boldsymbol{η})
\end{align}

を計算すれば

\begin{align}
\boldsymbol{R}_I^B(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{C}_\psi \boldsymbol{C}_\theta & \boldsymbol{C}_\psi \boldsymbol{S}_\phi \boldsymbol{S}_\theta – \boldsymbol{C}_\phi \boldsymbol{S}_\psi & \boldsymbol{S}_\phi \boldsymbol{S}_\psi + \boldsymbol{C}_\phi \boldsymbol{C}_\psi \boldsymbol{S}_\theta\\
\boldsymbol{C}_\theta \boldsymbol{S}_\psi & \boldsymbol{C}_\phi \boldsymbol{C}_\psi + \boldsymbol{S}_\phi \boldsymbol{S}_\psi \boldsymbol{S}_\theta & \boldsymbol{C}_\phi \boldsymbol{S}_\psi \boldsymbol{S}_\theta – \boldsymbol{C}_\psi \boldsymbol{S}_\phi \\
-\boldsymbol{S}_\theta & \boldsymbol{C}_\theta \boldsymbol{S}_\phi & \boldsymbol{C}_\phi \boldsymbol{C}_\theta
\end{pmatrix}
\end{align}

を得る。

これを使えば掛ける順を変えれば回転行列の形が変化することを確認できる。