微分のラプラス変換

一階微分可能な関数$f(t)$の一階微分$f'(t)$をラプラス変換する。

$$\begin{align} \int_0^\infty f'(t) e^{-st} dt &= \left [ f(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – \int_0^\infty -s f(t) e^{-st} dt\\[1.5ex] &= s \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt – f(0) \\[1.5ex] &= s \mathcal{L}\left [ f \right ] – f(0) \end{align}$$

同様にして二階微分可能な関数$f(t)$についても

$$\begin{align} \int_0^\infty f^{\prime\prime }(t) e^{-st} dt &= \left [ f'(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – \int_0^\infty -s f'(t) e^{-st} dt\\[1.5ex] &=\left [ f'(t) e^{-st} \right ]_0^\infty + s \left [ f(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – s \int_0^\infty (-s) f(t) e^{-st} dt \\[1.5ex] &= s^{2} \mathcal{L}\left [ f \right ] – sf(0) – f'(0) \end{align}$$

$n$階微分可能な関数$f(t)$については

$$\begin{align} \mathcal{L} [f(t)] =s^{n} \mathcal{L}\left [ f \right ] – s^{n-1} f(0) – s^{n-2} f'(0) – \cdots – s f^{(n-1)}(0) – f^{(n)}(0) \end{align}$$