ガンマ関数を定義する

ガンマ関数$\Gamma(z)$を次のように定義する。

$$\begin{align} \Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z) >0) \end{align}$$

$z=1$の時

$$\begin{align} \Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t}dt = 1 \end{align}$$

$z=2$の時

$$\begin{align} \Gamma(2)=\displaystyle\int_0^{\infty} t e^{-t}dt = 1 \end{align}$$

$z=3$の時

$$\begin{align} \Gamma(3)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^2 e^{-t}dt = 1 \times 2 = 2 \end{align}$$

$z=4$の時

$$\begin{align} \Gamma(4)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^3 e^{-t}dt = 1 \times 2 \times 3 = 6 \end{align}$$

$z=n-1$のとき

$$\begin{align} \Gamma(n-1)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n-2} e^{-t}dt = (n-2)! \end{align}$$

が成り立つとすると、$z=n$のとき

$$\begin{align} \Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-t}dt = (n-1)! \end{align}$$

より
$$\begin{align} \Gamma(n+1)=n! \end{align}$$

が成り立つ。