電位の計算と定積分

定積分を計算する。微分して関数$f(x)$となるような関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数という。たとえば

$$\begin{align} (x^2)’ = 2x \end{align}$$

であれば$F(x)=x^2,f(x)=2x$である。通常原始関数は複数存在する。

これを踏まえて次のような演算を考える。

$$\begin{align} \mathcal{F}(x) = \int_a^b f(x) dx = \left [ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) \end{align}$$

この演算を定積分という。これもたとえば電位$V$を求める場合

$$\begin{align} V =- \int_\infty^a \frac{Q}{4 \pi \varepsilon r^2} dr = – \frac{Q}{4 \pi \varepsilon } 　\int_\infty^a \frac{1}{r^2} dr = – \frac{Q}{4 \pi \varepsilon} \left [ – \frac{1}{r} \right]_\infty^a = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon a} \end{align}$$

と計算する。積分範囲を逆転させる場合は

$$\begin{align} \mathcal{F}(x) = – \int_b^a f(x) dx \end{align}$$

とすればいい。