電位の計算と定積分

定積分を計算する。微分して関数\(f(x)\)となるような関数\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。たとえば

\begin{align}
(x^2)’ = 2x
\end{align}

であれば\(F(x)=x^2,f(x)=2x\)である。通常原始関数は複数存在する。

これを踏まえて次のような演算を考える。

\begin{align}
\mathcal{F}(x) = \int_a^b f(x) dx = \left [ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a)
\end{align}

この演算を定積分という。これもたとえば電位\(V\)を求める場合

\begin{align}
V =- \int_\infty^a \frac{Q}{4 \pi \varepsilon r^2} dr = – \frac{Q}{4 \pi \varepsilon } 　\int_\infty^a \frac{1}{r^2} dr = – \frac{Q}{4 \pi \varepsilon} \left [ – \frac{1}{r} \right]_\infty^a = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon a}
\end{align}

と計算する。積分範囲を逆転させる場合は

\begin{align}
\mathcal{F}(x) = – \int_b^a f(x) dx
\end{align}

とすればいい。