微分のラプラス変換

一階微分可能な関数\( f(t) \)の一階微分\(f'(t) \)をラプラス変換する。

\begin{align}
\int_0^\infty f'(t) e^{-st} dt &= \left [ f(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – \int_0^\infty -s f(t) e^{-st} dt\\[1.5ex]
&= s \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt – f(0) \\[1.5ex]
&= s \mathcal{L}\left [ f \right ] – f(0)
\end{align}

同様にして二階微分可能な関数\( f(t) \)についても

\begin{align}
\int_0^\infty f^{\prime\prime }(t) e^{-st} dt &= \left [ f'(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – \int_0^\infty -s f'(t) e^{-st} dt\\[1.5ex]
&=\left [ f'(t) e^{-st} \right ]_0^\infty + s \left [ f(t) e^{-st} \right ]_0^\infty – s \int_0^\infty (-s) f(t) e^{-st} dt \\[1.5ex]
&= s^{2} \mathcal{L}\left [ f \right ] – sf(0) – f'(0)
\end{align}

\(n\)階微分可能な関数\( f(t) \)については

\begin{align}
\mathcal{L} [f(t)] =s^{n} \mathcal{L}\left [ f \right ] – s^{n-1} f(0) – s^{n-2} f'(0) – \cdots – s f^{(n-1)}(0) – f^{(n)}(0)
\end{align}