部分積分の公式を導出する

部分積分を使えば、例えば

\begin{align}
\int_0^{\infty} t e^{-st} dt = \frac{1}{s^2}
\end{align}

などの積分を簡単に計算できるようになる。

微分可能な関数\(f(x),g(x)\)について、積の微分の関係を考えると

\begin{align}
\{ f(x) g(x) \}’ = f(x)’g(x) + f(x)g(x)’
\end{align}

となる。これの両辺を積分して

\begin{align}
& \int \{ f(x) g(x) \}’ dx = \int f(x)’g(x) dx + \int f(x)g(x)’ dx
\end{align}

左辺を整理し移項すれば

\begin{align}
\int f(x)g(x)’ dx = f(x) g(x) – \int f(x)’g(x) dx
\end{align}

となる。この関係を部分積分という。

定積分のときは

\begin{align}
\int_a^b f(x)g(x)’ dx = \Bigl [ f(x) g(x) \Bigr ]_a^b – \int_a^b f(x)’g(x) dx
\end{align}

となる。