感度関数と相補感度関数

次のような制御器\(K(s)\)とプラント\(P(s)\)で構成されるフィードバックシステムを考える。この系の伝達関数は

\begin{align}
G (s) =\frac{P(s)K (s) }{1+P (s) K (s) }
\end{align}

である。いま、プラントの出力\(U(s)P(s)\)には外乱\(D(s)\)が加えられ

\begin{align}
Y(s) &=U(s)P(s)+D (s) \\
\end{align}

システムの感度関数は外乱\(D(s)\)から出力 \(Y(s)\)までの伝達関数であるので

\begin{align}
S (s) =\frac{Y(s)}{D(s)}=\frac{1}{1+P (s) K (s) }
\end{align}

次にシステムの相補感度関数を考える。フィードバック信号に外乱\(N\)が加えられると、偏差\(E(s)\)は

\begin{align}
E(s) =R(s)-\{ Y(s) – N(s) \}
\end{align}

この時 \(N(s)\) から出力 \(Y(s)\) の伝達関数は

\begin{align}
T (s) =\frac{Y(s)}{N(s)}=\frac{P(s)K(s)}{1+P (s) K (s) }
\end{align}

これから直ちに

\begin{align}
T(s)+S (s) =1
\end{align}

を得る。