オイラーの公式から五倍角の公式を導出する

オイラーの公式を使って五倍角の公式を導出する。この方法は脳筋向け。\(\theta_1=\theta_2 =\cdots =\theta_5 = \alpha \)の合成を考えれば

\begin{align}
e^{ 5\alpha i} &=e^{4 \alpha i} e^{\alpha i} \\
&=\{ 8 \cos^4 \alpha – 8 \cos^2 \alpha + 1 + i \cos \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha) \} (\cos \alpha + i\sin \alpha )\\
&=8 \cos^5 \alpha – 8 \cos^3 \alpha + \cos \alpha + i \cos^2 \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha) \\
&\hspace{10mm}+8 i \sin \alpha \cos^4 \alpha – 8 i \sin \alpha \cos^2 \alpha + i \sin \alpha – \sin \alpha \cos \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha)
\end{align}

これより

\begin{align}
\sin 5\alpha &= \cos^2 \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha) +8 \sin \alpha \cos^4 \alpha – 8 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha \\
&= \cos^2 \alpha ( – 16 \sin^3 \alpha +4 \sin \alpha ) + \sin \alpha \\
&= 16 \sin^5 \alpha – 20 \sin^3 \alpha + 5 \sin \alpha \\
\cos 5 \alpha &= 8 \cos^5 \alpha – 8 \cos^3 \alpha + \cos \alpha – \sin \alpha \cos \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha)\\
&=16 \cos^5 \alpha – 20 \cos^3 \alpha +5 \cos \alpha
\end{align}

を得る。