二次遅れ系のインディシャル応答と行過ぎ量

次のような二次遅れ系の伝達関数 $G(s)$
$$\begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align}$$
について、不足振動となる$\zeta < 1$の行き過ぎ量を考える。この場合の応答は
$$\begin{align} y(t)=1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \sin \left (\alpha \omega_{n} t + \tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \right ) \end{align}$$
となる。ただし$\alpha=\sqrt{1-\zeta^2}$である。ここで、
$$\begin{align} \omega = \alpha \omega_{n} \hspace{5mm} \phi=\tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \end{align}$$
とすれば
$$\begin{align} y(t)=1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \sin \left ( \omega t + \phi \right ) \end{align}$$
と簡潔に表すことができる。行き過ぎ量は
$$\begin{align} \frac{dy(t)}{dt}=0 \end{align}$$
で求めることができるから
$$\begin{align} \frac{dy(t)}{dt}&=\dfrac{d}{dt} \left \{ 1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \sin \left ( \omega t + \phi \right ) \right \} \\ &=- \left (- \zeta \omega_{n} \right ) \dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \sin \left ( \omega t + \phi \right ) -\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \omega \cos \left ( \omega t + \phi \right ) \end{align}$$
ここで条件より
$$\begin{align} \zeta \omega_{n} \dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \sin \left ( \omega t + \phi \right ) &=\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} t} }{\alpha} \omega \cos \left ( \omega t + \phi \right ) \\ \zeta \omega_{n} \sin \left ( \omega t + \phi \right ) &= \omega \cos \left ( \omega t + \phi \right ) \\ \tan \left ( \omega t + \phi \right ) &= \dfrac{\omega}{\zeta \omega_{n} } \end{align}$$
これより
$$\begin{align} \tan \left ( \omega t + \tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \right ) &= \dfrac{\sqrt{1-\zeta^{2}} }{\zeta} \end{align}$$
ここで
$$\begin{align} \omega t = n \pi \hspace{5mm} (n=0,1,2 \cdots) \end{align}$$
であれば上式は成り立つ。定義より
$$\begin{align} \alpha \omega_{n} t= n \pi \hspace{5mm} t = \dfrac{n \pi }{\alpha \omega_{n}} \end{align}$$
となるから
$$\begin{align} f(t) = 1 – \dfrac{e^{-\zeta \dfrac{n \pi }{\alpha }}} {\alpha} \sin \left ( n \pi + \tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \right ) \end{align}$$
加法定理
$$\begin{align} \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \end{align}$$
より、
$$\begin{align} f(t) &= 1 – \dfrac{e^{-\zeta \dfrac{n \pi }{ \alpha }}} {\alpha} \left \{ \sin n \pi \cos \left( \tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \right ) + \cos n \pi \sin \left( \tan^{-1} \dfrac{\alpha}{\zeta} \right ) \right \}\\ &= 1 – (-1)^n e^{ -\zeta \dfrac{n \pi }{\alpha} } \end{align}$$
より行き過ぎ量を求める式を得る。