合同数と平方数

合同数の定義

\begin{align}
\begin{cases}
X^2+Y^2=Z^2\\
\displaystyle \frac{XY}{2}=n
\end{cases}
\end{align}

楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば

\begin{align}
(X+Y)^2=Z^2+4n \\
(X-Y)^2=Z^2-4n \\
\end{align}

両辺を４で割って

\begin{align}
\frac{(X+Y)^2}{4}=\left ( \frac{Z}{2} \right)^2+n \\
\frac{(X-Y)^2}{4}=\left ( \frac{Z}{2} \right)^2-n \\
\end{align}

\( x=\left ( \displaystyle \frac{Z}{2} \right)^2\)とすると

\begin{align}
\left ( \frac{X+Y}{2} \right)^2=x+n \\
\left ( \frac{X-Y}{2} \right)^2=x-n \\
\end{align}

これより\(x \pm n\)は\( \displaystyle \frac{X+Y}{2} \)の平方数となる。