【流体力学】連続の式の導出

ある領域に流入する流体の総量と流出する流体の総量は、領域内の流体の変化量は等しいので

\begin{align}
\frac{d}{dt} \int_V \rho dx = – \int_{\partial V} \rho \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} d \sigma
\end{align}

発散定理を使えば

\begin{align}
\int_V \frac{d \rho}{dt} dx = – \int_V \mathrm{div} \left (\rho v \right ) dx
\end{align}

これより

\begin{align}
\frac{d \rho}{dt} + \mathrm{div} \left (\rho v \right ) = 0
\end{align}