対数の定義と対数の和と差

$a>0,a \neq 1,M>0$のとき指数$a^p$について

$$\begin{align} a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p \end{align}$$

となる関係を考える事ができる。この関係を$a$を底とする $M$ の対数という。

例えば

$$\begin{align} 2^3 = 8 \ \Longleftrightarrow \ \log_{2} 8 = 3 \end{align}$$

である。

対数$\log_{a} M + p , \ \log_{a} N = q$についてこれらの和と差を考える。和は

$$\begin{align} \log_{a} M + \log_{a} N &= p+q \end{align}$$

次のようにしても同様に成り立つので変換すれば

$$\begin{align} a^{\log_{a} M + \log_{a} N} &= a^{p+q} \end{align}$$

は

$$\begin{align} a^{\log_{a} M} a^{ \log_{a} N} &= a^{p+q} \end{align}$$

対数を取れば

$$\begin{align} \log_{a} MN &= \log_{a} M + \log_{a} N \end{align}$$

を得る。同様に差は

$$\begin{align} \log_{a} M – \log_{a} N &= p-q \end{align}$$

次のようにしても同様に成り立つので変換すれば

$$\begin{align} a^{\log_{a} M – \log_{a} N} &= a^{p-q} \end{align}$$

は

$$\begin{align} \frac{a^{\log_{a} M}}{a^{ \log_{a} N}} &= a^{p+q} \end{align}$$

対数を取れば

$$\begin{align} \log_{a} \frac{M}{N} &= \log_{a} M – \log_{a} N \end{align}$$

を得る。