線形非同次微分方程式の解の導出

あるシステムを表す線形非同次微分方程式

\begin{align}
\dot{x} (t) = Ax(t) +Bu(t) \hspace{5mm} x(t_0)=x_0
\end{align}

の解を求める。

\begin{align}
\dot{x}(t) – Ax(t) &= Bu(t) \\[1.5ex]
e^{-A(t -t_0)} \left [ \dot{x}(t) – Ax(t) \right ] &= e^{-A(t -t_0)} Bu(t) \\[1.5ex]
e^{-A(t -t_0)} x(t) – x(t_0) &= \int_{t_0}^{t} e^{-A(\tau – t_0)} Bu(\tau) d \tau \end{align}

これより

\begin{align}
x(t)=e^{A(t -t_0)} x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{A(t – \tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}