連続する4つの整数の積

連続する４つの整数の積を考える。最も小さい数を\(a\)とすると

\begin{align}
x&=a (a+1) (a+2) (a+3)\\
&= (a^2 +3a)(a^2+3a+2) \\
&= (a^2 +3a)^2+2(a^2+3a)
\end{align}

両辺に\(1\)を足して

\begin{align}
x + 1&= (a^2 +3a)^2+2(a^2+3a)+1\\
&=(a^2+3a+1)^2
\end{align}

よって\(x+1\)は平方数になる。