現代制御の視点から見た線形時不変な多入力多出力なシステムのPID制御

線形時不変な多入力多出力なシステム

\begin{align}
\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)
\end{align}

をPID制御則は

\begin{align}
u(t)=K_{P} (r-y(t)) +K_{I} \int_{0}^{t} (r-y(\tau)) d \tau +K_{D} \frac{d}{dt} (r-y(t))
\end{align}

のように表すことができる。ここで

\begin{align}
z=\int_{0}^{t} -y(\tau) d \tau
\end{align}

とおき、\(r=0\)とすればPID制御則は

\begin{align}
u(t)= K_{I} z – K_{P} y(t) – K_{D} \dot{y}(t)
\end{align}

となる。簡単にするため変数

\begin{align}
\overline{F}_{P}&=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{P}\\
\overline{F}_{I}&=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{I}\\
\overline{F}_{D} &=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{D}
\end{align}

を定義すればこれよりPID制御則は

\begin{align}
u(t)= \overline{F}_{I} z – \overline{F}_{P} Cx(t) – \overline{F}_{D} CA x(t)
\end{align}

とすることができる。さらに\(z\)を微分すれば

\begin{align}
\dot{z}(t)=-y(t)=-Cx(t)
\end{align}

となるので、これらを用いて拡大システムを構築すれば

\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x}(t) \\ \dot{z}(t)
\end{bmatrix}=
\overline{A}
\begin{bmatrix}
x(t) \\ z(t)
\end{bmatrix}+\overline{B}u(t)
\end{align}

PID制御による閉ループ系は

\begin{align}
\begin{bmatrix}
A-B(\overline{F}_{P} C + \overline{F}_{D} CA) & B \overline{F}_{I} \\
-C & O
\end{bmatrix}=
\overline{A}
\begin{bmatrix}
x(t) \\ z(t)
\end{bmatrix}
\end{align}

また、\(u(t)\)についても整理すれば容易に

\begin{align}
u(t)= – \overline{F} \overline{C}
\begin{bmatrix}
x(t) \\ z(t)
\end{bmatrix}
\end{align}

ここで

\begin{align}
\overline{y}(t)= \overline{C}
\begin{bmatrix}
x(t) \\ z(t)
\end{bmatrix}
\end{align}

とすれば

\begin{align}
u(t)= – \overline{F} \overline{y}(t)
\end{align}

とすることができる。これにより、拡大システムは静的出力フィードバック

\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x}(t) \\ \dot{z}(t)
\end{bmatrix}=
(\overline{A} – \overline{B} \overline{F} \overline{C} )
\begin{bmatrix}
x(t) \\ z(t)
\end{bmatrix}
\end{align}

と等価になる。これによりゲイン\(K_{P},K_{I},K_{D}\)は

\begin{align}
K_{P}&=\{I + \overline{F}_{D} (I -C B \overline{F}_{D})^{-1} CB \}\overline{F}_{P} \\
K_{I}&=\{I + \overline{F}_{D} (I -C B \overline{F}_{D})^{-1} CB \}\overline{F}_{I} \\
K_{D}&=\overline{F}_{D} (I – CB \overline{F}_{P}) ^{-1}
\end{align}

となる。