有識者の言う掛け算の順序問題について考えてみた

掛け算の導入は足し算の延長で

\begin{align}
A \times B = \underbrace{A + A + \dots +A}_B \cdots (1)
\end{align}

のような形で導入されることが多い。具体的には

\begin{align}
2 \times 3 = 2+2+2
\end{align}

これに倣い\(A\)を掛けられる数、\(B\)を掛けると名付けている。この定義の関係を逆にするとどうなるか。

\begin{align}
A \times B = \underbrace{B + B + \dots +B}_A \cdots (2)
\end{align}

私たちは全く別の視点から定義された(1)と(2)が一致することを知っていて、これを交換法則と呼んでいる。

割り算だとどうか。商\(Q\)とあまり\(R\)を使って表現してみる。

\begin{align}
A \div B = B Q + R (B \neq 0)
\end{align}

当然掛け算の定義を使えば

\begin{align}
A \div B = A \times \frac{1}{B} = \underbrace{A + A + \dots +A}_\frac{1}{B} = B Q + R (B \neq 0)
\end{align}

となる。ここで割り算の順序を逆転させると

\begin{align}
B \div A = B \times \frac{1}{A} = \underbrace{B + B + \dots +B}_\frac{1}{A} =A Q + R (A \neq 0)
\end{align}

異なってしまう。ところが

\begin{align}
f_1&=1 \div 2= \frac{1}{2}\\
f_2&=2 \div 1 = 2
\end{align}

の時\(f_2\)を\(f_1\)と一致させることは可能で

\begin{align}
1 \div 2= \frac{1}{4} \times \left (2 \div 1 \right) = \frac{1}{2}
\end{align}

とすればいいことが分かる。ほかにも行列の積も

\begin{align}
AB= ^{t} \! (^{t} \! B ^{t} \! A)
\end{align}

とすれば\(A\)と\(B\)は交換できてしまう。つまり掛け算や足し算は交換条件が\(1\)倍の特殊な演算で、行列や割り算、引き算には相応の交換条件が求められると解釈しても問題なさそうである。

掛け算を導入する際は(1)と(2)のように順序も含めて考えなければならないが、事実を利用するだけの文章問題ではどちらを掛ける数にしたか判別できないので考える意味はない。文章問題で順序を重んじるあまりにローカルルール的な定義を導入して無理やり定めると、問題自体が破綻してしまう危険がある。当然ながら真に重要な点は計算の順序ではなく計算の原理である。

有識者の見解では掛け算や足し算に順序があるとのことだが、ガウスは\(1\)から\(100\)までの足し算を

\begin{align}
1+2+\cdots + 100 = \frac{101 \times 100}{2} =5050
\end{align}

と工夫して解いたらしい。こういったいろいろな解き方を探るのも数学の楽しみの一つであり、このような気付きが研究に発展することは間違いない。

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