時間関数がべき乗のときのラプラス変換

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。時間関数が\(t\)のときは

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{1}{s} \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{1}{s}
\end{align}

時間関数が\(t^2\)のときは

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^2 \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{2}{s} \int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{2}{s^3}
\end{align}

時間関数が\(t^3\)のときは

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^3 \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^3 \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{3}{s} \int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{6}{s^4}
\end{align}

同様にして\(t^{n-1}\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt = \frac{(n-1)!}{s^n}
\end{align}

が成り立つとすると\(t^n\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^n \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^n \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{n}{s} \int_0^\infty t^{n-1} \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{n!}{s^{n+1}}
\end{align}