対数の定義と対数の和と差

\(a>0,a \neq 1,M>0\)のとき指数\( a^p \)について

\begin{align}
a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p
\end{align}

となる関係を考える事ができる。この関係を\(a\)を底とする \(M\) の対数という。

例えば

\begin{align}
2^3 = 8 \ \Longleftrightarrow \ \log_{2} 8 = 3
\end{align}

である。

対数\(\log_{a} M + p , \ \log_{a} N = q \)についてこれらの和と差を考える。和は

\begin{align}
\log_{a} M + \log_{a} N &= p+q
\end{align}

次のようにしても同様に成り立つので変換すれば

\begin{align}
a^{\log_{a} M + \log_{a} N} &= a^{p+q}
\end{align}

\begin{align}
a^{\log_{a} M} a^{ \log_{a} N} &= a^{p+q}
\end{align}

対数を取れば

\begin{align}
\log_{a} MN &= \log_{a} M + \log_{a} N
\end{align}

を得る。同様に差は

\begin{align}
\log_{a} M – \log_{a} N &= p-q
\end{align}

次のようにしても同様に成り立つので変換すれば

\begin{align}
a^{\log_{a} M – \log_{a} N} &= a^{p-q}
\end{align}

\begin{align}
\frac{a^{\log_{a} M}}{a^{ \log_{a} N}} &= a^{p+q}
\end{align}

対数を取れば

\begin{align}
\log_{a} \frac{M}{N} &= \log_{a} M – \log_{a} N
\end{align}

を得る。

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