状態方程式の同値変換

次の状態方程式で表現されるシステム

\begin{align}
\dot{x}(t) &=Ax(t)+Bu(t)\\
y(t)&=Cx(t)
\end{align}

において任意の正則な行列\(T¥)を使って

\begin{align}
\overline{x}(t)=Tx(t)
\end{align}

を定義すると、状態方程式は

\begin{align}
\dot{\overline{x}}(t) &=TAT^{-1} \overline{x}(t)+TBu(t)\\
y&=CT^{-1} \overline{x}(t)
\end{align}

と変換できる。ここで\(\tilde{A},\tilde{B},\tilde{C}\)を

\begin{align}
\tilde{A}=TAT^{-1}\hspace{5mm} \tilde{B}=TB \hspace{5mm} \tilde{C}=CT^{-1}
\end{align}

と置けば

\begin{align}
\dot{x} (t)&=\tilde{A}x(t)+\tilde{B}u(t)\\
y(t)&=\tilde{C}x(t)
\end{align}

と表現できる。このように正則な\(T\)が存在し、上記のような変換が成り立つとき、これらのシステムは互いに同値であるという。

また、任意のシステムを

\begin{align}
\tilde{A}=TAT^{-1}\hspace{5mm} \tilde{B}=TB \hspace{5mm} \tilde{C}=CT^{-1}
\end{align}

を用いて同値なシステムへ変換することを同値変換という。