直達行列を含まない線形時不変な状態方程式の出力を求める

線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)
\end{align}

の初期値を\(x(0)\)とすればその解は状態遷移行列

\begin{align}
e^{At}=I+At+\frac{(At)^2}{2!} + \cdots
\end{align}

を用いて

\begin{align}
x(t)=e^{At} x(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}

と求めることができる。これより\(y(t)\)は

\begin{align}
x(t)=C e^{At} x(0) + C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}