最終値の定理

時間関数\(x(t)\)について、\(t=\infty\)の値をラプラス変換により得られた結果\(X(s)\)より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。

\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) – x(0)
\end{align}

左辺について次のような極限

\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} dt
\end{align}

これより

\begin{align}
\lim_{\tau \to \infty} \int_{0}^{\tau} \dfrac{dx(t)}{dt} dt = \lim_{\tau \to \infty} x(\tau) – x(0)
\end{align}

また、上式の左辺は

\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \lim_{s \to 0} sX(s) – x(0)
\end{align}

これより比較すれば

\begin{align}
\lim_{s \to 0} sX(s) = \lim_{ t \to \infty} x(t)
\end{align}

を得る。この結果を最終値の定理という。